🎬 एक कहानी से शुरुआत करते हैं...
जयपुर के तीन दोस्त — राजू, सोनू और मीना — ने मिलकर एक छोटा-सा टिफिन सेंटर शुरू किया। राजू ने ₹50,000 लगाकर 1 जनवरी से काम शुरू किया। 6 महीने बाद सोनू ₹80,000 लेकर जुड़ी, और साल खत्म होने में जब सिर्फ 3 महीने बचे थे, मीना ने ₹1,20,000 लगाए। साल के अंत में दुकान ने ₹36,000 का मुनाफा कमाया। अब सवाल यह है — किसे कितना पैसा मिलेगा? क्या तीनों को बराबर हिस्सा मिलेगा, या पैसे और समय दोनों को ध्यान में रखा जाएगा?
यही है असली जिंदगी में "अनुपात" और "साझेदारी" का खेल — जहाँ पैसा, समय और हिस्सेदारी आपस में जुड़े होते हैं। RAS Pre परीक्षा में हर साल इसी तरह के प्रश्न पूछे जाते हैं। इस अध्याय को पूरा पढ़ने के बाद आप राजू-सोनू-मीना जैसी किसी भी साझेदारी की समस्या को मात्र 1-2 मिनट में हल कर पाएंगे। चलिए शुरू करते हैं — पहले अनुपात की नींव मजबूत करेंगे, फिर समानुपात, फिर साझेदारी तक पहुँचेंगे।
अनुपात यानी दो समान इकाई वाली राशियों की आपसी तुलना। जब हम कहते हैं "a : b", तो इसका मतलब है a और b का भागफल a/b। यहाँ a को "पूर्ववर्ती (Antecedent)" और b को "उत्तरवर्ती (Consequent)" कहा जाता है। सबसे जरूरी नियम यह है — यदि अनुपात के दोनों पदों को किसी एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग कर दें, तो अनुपात नहीं बदलता (जैसे 4:6 = 2:3)। ध्यान रहे, अनुपात की कोई इकाई (unit) नहीं होती और तुलना केवल समान मात्रकों में ही संभव है। RAS Pre में अनुपात के आधार पर कई तरह के प्रश्न — साधारण अनुपात, संयुक्त अनुपात (A:B:C), और बीजगणितीय अनुपात — पूछे जाते हैं।
a : b = a/b (a = पूर्ववर्ती, b = उत्तरवर्ती) a : b = c : d ⇔ ad = bc (गुणा-भाग से अनुपात नहीं बदलता) संयुक्त अनुपात: यदि A:B और B:C ज्ञात हों, तो B का LCM बनाकर A:B:C ज्ञात करें
चरण 1: अनुपात 60:30:10 को सरल करें — तीनों में 10 का भाग दें → 6:3:1 चरण 2: कुल भाग = 6+3+1 = 10 चरण 3: पहले का हिस्सा = 600 × 6/10 = ₹360 चरण 4: दूसरे का हिस्सा = 600 × 3/10 = ₹180 चरण 5: तीसरे का हिस्सा = 600 × 1/10 = ₹60 (जांच: 360+180+60 = 600 ✓) ✅ उत्तर (Answer): ₹360, ₹180 और ₹60
चरण 1: B का मान दोनों अनुपातों में अलग-अलग है (4 और 5) — इसलिए B का LCM निकालें → LCM(4,5) = 20 चरण 2: A:B = 3:4 को B=20 बनाने के लिए 5 से गुणा करें → 15:20 चरण 3: B:C = 5:7 को B=20 बनाने के लिए 4 से गुणा करें → 20:28 चरण 4: अब B दोनों जगह 20 है, इसलिए सीधे मिला सकते हैं ✅ उत्तर (Answer): A : B : C = 15 : 20 : 28
चरण 1: माना m = 3k और n = 2k (चूंकि m:n = 3:2) चरण 2: 4m + 5n = 4(3k) + 5(2k) = 12k + 10k = 22k चरण 3: 4m − 5n = 4(3k) − 5(2k) = 12k − 10k = 2k चरण 4: अनुपात = 22k : 2k — दोनों में k से भाग देने पर = 22 : 2 ✅ उत्तर (Answer): 11 : 1
जब भी A:B और B:C दिया हो, तो हमेशा B के दोनों मानों का LCM निकालकर उसके अनुसार दोनों अनुपातों को स्केल करें — इससे 10 सेकंड में A:B:C मिल जाता है। बीजगणितीय अनुपात प्रश्नों (जैसे m:n दिया हो) में हमेशा m = (पहला पद)×k और n = (दूसरा पद)×k मान लें — इससे जटिल भिन्न (fractions) से बचा जा सकता है और उत्तर सीधे k में निकल आता है।
जब दो अनुपात आपस में बराबर होते हैं, तो उसे समानुपात कहते हैं — जैसे a:b :: c:d। यहाँ a और d को "चरम पद (Extremes)" तथा b और c को "मध्य पद (Means)" कहा जाता है। समानुपात का सबसे बुनियादी नियम है — मध्य पदों का गुणनफल = चरम पदों का गुणनफल, यानी b×c = a×d। इसी सिद्धांत से चौथा आनुपातिक, तीसरा आनुपातिक और मध्य आनुपातिक जैसी अवधारणाएं निकलती हैं, जो RAS Pre में सीधे सूत्र आधारित प्रश्नों के रूप में पूछी जाती हैं। इसके अलावा Componendo-Dividendo (संयोजन-वियोजन) नियम बड़ी जटिल समानुपाती समीकरणों को चंद सेकंड में हल करने में मदद करता है।
a : b :: c : d ⇔ b × c = a × d (मध्य पदों का गुणनफल = चरम पदों का गुणनफल) चौथा आनुपातिक (Fourth Proportional): a:b::c:d में d = (b×c)/a तीसरा आनुपातिक (Third Proportional): a:b::b:c में c = b²/a मध्य आनुपातिक (Mean Proportional) a और b का = √(ab) Componendo-Dividendo: यदि a/b = c/d, तो (a+b)/(a−b) = (c+d)/(c−d)
चरण 1: माना चौथा आनुपातिक x है — तो 4:9 :: 12:x चरण 2: सूत्र: d = (b×c)/a = (9×12)/4 चरण 3: x = 108/4 = 27 ✅ उत्तर (Answer): 27
चरण 1: माना तीसरा आनुपातिक x है — तो 16:36 :: 36:x चरण 2: सूत्र: c = b²/a = 36²/16 = 1296/16 चरण 3: x = 81 ✅ उत्तर (Answer): 81
चरण 1: दिया गया समीकरण: (2x+3y)/(3x+5y) = 18/29 चरण 2: क्रॉस-गुणा करें: 29(2x+3y) = 18(3x+5y) चरण 3: 58x + 87y = 54x + 90y ⇒ 4x = 3y चरण 4: अतः x/y = 3/4 ✅ उत्तर (Answer): x : y = 3 : 4
तीनों में क्रम याद रखें — "चौथा" में 4 अलग-अलग संख्याएं (a,b,c,d) होती हैं, d=(bc)/a; "तीसरा" में बीच वाली संख्या (b) दोहराई जाती है, c=b²/a; और "मध्य आनुपातिक" सिर्फ 2 संख्याओं (a,b) का ज्यामितीय माध्य होता है = √(ab)। परीक्षा में यह पहचानना जरूरी है कि कितनी संख्याएं दी गई हैं — 3 दी हों तो चौथा/तीसरा, और 2 दी हों तो मध्य आनुपातिक।
RAS Pre में अक्सर किसी राशि (जैसे रुपया, उम्र, या वस्तुएं) को दिए गए अनुपात में बांटने के प्रश्न पूछे जाते हैं। नियम बहुत सरल है — कुल राशि को अनुपात के कुल भागों से भाग देकर एक भाग की कीमत निकालें, फिर हर व्यक्ति के हिस्से के अनुसार गुणा करें। कभी-कभी अनुपात भिन्न (fraction) के रूप में दिया जाता है (जैसे 1/3 A का = 1/4 B का), तब पहले उसे साधारण अनुपात में बदलना जरूरी है। इसके अलावा "चर विचरण (Variation)" की अवधारणा बताती है कि जब एक राशि बदलती है तो दूसरी किस तरह बदलती है — प्रत्यक्ष विचरण (Direct) में दोनों साथ बढ़ती-घटती हैं, जबकि व्युत्क्रम विचरण (Inverse) में एक बढ़े तो दूसरी घटती है।
राशि N को a:b:c में बांटने पर पहला भाग = N × a/(a+b+c), इसी तरह अन्य भाग प्रत्यक्ष विचरण (Direct Variation): x = ky ⇒ x ∝ y व्युत्क्रम विचरण (Inverse Variation): xy = k ⇒ x ∝ 1/y
चरण 1: कुल भाग = 4+3 = 7 चरण 2: पहला भाग = 455 × 4/7 = ₹260 चरण 3: दूसरा भाग = 455 × 3/7 = ₹195 (जांच: 260+195=455 ✓) ✅ उत्तर (Answer): ₹260 और ₹195
चरण 1: माना 3A = 4B = 7C = k, तो A=k/3, B=k/4, C=k/7 चरण 2: A:B:C = 1/3 : 1/4 : 1/7 — LCM(3,4,7)=84 से गुणा करें → 28:21:12 चरण 3: कुल भाग = 28+21+12 = 61 चरण 4: A का हिस्सा = 427×28/61 = ₹196, B का = 427×21/61 = ₹147, C का = 427×12/61 = ₹84 ✅ उत्तर (Answer): A=₹196, B=₹147, C=₹84 (जांच: 196+147+84=427 ✓)
चरण 1: समीकरण बनाएं: y + 20% of x = 150% of y चरण 2: y + (20/100)x = (150/100)y ⇒ 0.2x = 0.5y चरण 3: x/y = 0.5/0.2 = 5/2 ✅ उत्तर (Answer): x : y = 5 : 2
किसी भी राशि N को अनुपात a:b:c में बांटने के लिए एक ही लाइन याद रखें — प्रत्येक हिस्सा = N × (उस व्यक्ति का अनुपात पद) / (सभी पदों का योग)। समीकरण बनाने की जरूरत नहीं, सीधे भागफल गुणा करें। भिन्न रूप में अनुपात (जैसे 3A=4B=7C) दिखे तो तुरंत A:B:C = 1/3:1/4:1/7 लिखकर LCM से गुणा करें — यही सबसे तेज़ तरीका है।
RAS Pre में अनुपात से जुड़ा एक बहुत लोकप्रिय प्रकार है — दूध-पानी, या दो रंग की वस्तुओं का मिश्रण। सबसे आसान प्रकार में दो चीज़ें सीधे किसी अनुपात में मिली होती हैं और एक की मात्रा से दूसरी निकालनी होती है। एक कठिन प्रकार यह है — जब किसी बर्तन से बार-बार मिश्रण निकालकर उसकी जगह शुद्ध पानी डाला जाता है (Replacement), तो अंतिम शुद्ध द्रव की मात्रा ज्ञात करने के लिए एक विशेष सूत्र प्रयोग होता है। इसके अलावा दो या तीन अलग-अलग अनुपात वाले मिश्रणों को बराबर मात्रा में मिलाकर नया अनुपात ज्ञात करना भी एक सामान्य प्रश्न-प्रकार है।
n बार प्रतिस्थापन के बाद शुद्ध द्रव = x × (1 − y/x)ⁿ [x=कुल मात्रा, y=हर बार निकाली गई मात्रा] बराबर मात्रा के मिश्रणों को मिलाने पर: प्रत्येक घटक का कुल योग अलग-अलग जोड़ें, फिर अनुपात निकालें
चरण 1: अनुपात लाल:नीली = 3:5, नीली गेंदें = 40 चरण 2: एक भाग की कीमत = 40/5 = 8 चरण 3: लाल गेंदें = 3 × 8 = 24 चरण 4: कुल गेंदें = 24 + 40 = 64 ✅ उत्तर (Answer): लाल गेंदें = 24, कुल गेंदें = 64
चरण 1: सूत्र लगाएं: शुद्ध दूध = x(1 − y/x)ⁿ, यहाँ x=60, y=12, n=2 चरण 2: शुद्ध दूध = 60 × (1 − 12/60)² = 60 × (0.8)²= 60 × 0.64 चरण 3: शुद्ध दूध = 38.4 लीटर, इसलिए पानी = 60 − 38.4 = 21.6 लीटर चरण 4: अनुपात = 38.4 : 21.6 — दोनों को 2.4 से भाग दें → 16 : 9 ✅ उत्तर (Answer): दूध : पानी = 16 : 9
चरण 1: सुविधा के लिए प्रत्येक नमूने की मात्रा = 120 यूनिट लें (चूंकि 3, 5, 8 का LCM = 120) चरण 2: नमूना-1 (2:1, योग3): अम्ल = 120×2/3=80, पानी = 120×1/3=40 चरण 3: नमूना-2 (3:2, योग5): अम्ल = 120×3/5=72, पानी = 120×2/5=48 चरण 4: नमूना-3 (5:3, योग8): अम्ल = 120×5/8=75, पानी = 120×3/8=45 चरण 5: कुल अम्ल = 80+72+75 = 227, कुल पानी = 40+48+45 = 133 ✅ उत्तर (Answer): पानी : अम्ल = 133 : 227
जब भी 2 या अधिक नमूनों को "बराबर मात्रा" में मिलाना हो, तो हमेशा सभी नमूनों के "योग (sum of ratio terms)" का LCM लेकर उतनी मात्रा मान लें — इससे भिन्न (fraction) की जगह पूर्णांक में गणना होगी और गलती की संभावना कम होगी। प्रतिस्थापन (Replacement) वाले प्रश्नों में n की गिनती ध्यान से करें — "कितनी बार निकाला-डाला गया" उतनी ही घात (power) लगेगी।
जब दो या अधिक व्यक्ति मिलकर पूंजी लगाते हैं और कोई व्यापार शुरू करते हैं, तो उसे साझेदारी कहते हैं। साझेदारी दो तरह की होती है — "सरल साझेदारी (Simple Partnership)" जिसमें सभी साझेदारों की पूंजी समान समय के लिए लगी रहती है, और लाभ सीधे पूंजी के अनुपात में बंटता है। दूसरी है "मिश्रित साझेदारी (Compound Partnership)" जिसमें अलग-अलग साझेदार अलग-अलग समय के लिए पूंजी लगाते हैं (कोई बीच में जुड़ता है, कोई बीच में निकल जाता है) — यहाँ लाभ (पूंजी × समय) के अनुपात में बंटता है। जो साझेदार व्यापार का प्रबंधन करता है उसे "कार्यशील साझेदार (Working Partner)" कहते हैं, जिसे अक्सर एक निश्चित प्रतिशत अतिरिक्त मिलता है — बाकी लाभ पूंजी के अनुपात में बंटता है। राजू-सोनू-मीना की हमारी शुरुआती कहानी भी इसी मिश्रित साझेदारी का उदाहरण है!
सरल साझेदारी: A का लाभ : B का लाभ = A की पूंजी : B की पूंजी (x : y) मिश्रित साझेदारी: A का लाभ : B का लाभ = (पूंजी×समय)A : (पूंजी×समय)B = xp : yq कार्यशील साझेदार: पहले निश्चित % घटाएं, शेष लाभ पूंजी-अनुपात में बांटें
चरण 1: चूंकि तीनों की पूंजी पूरे साल भर लगी रही (सरल साझेदारी), अनुपात = पूंजी का अनुपात चरण 2: 1,20,000 : 1,35,000 : 1,50,000 = 8 : 9 : 10 (15,000 से भाग देकर) चरण 3: कुल भाग = 8+9+10 = 27 चरण 4: A = 56700×8/27=₹16,800, B = 56700×9/27=₹18,900, C = 56700×10/27=₹21,000 ✅ उत्तर (Answer): A=₹16,800, B=₹18,900, C=₹21,000
चरण 1: समय निकालें: राजू=12 महीने, सोनू=(12-3)=9 महीने, मीना=(12-3-6)=3 महीने चरण 2: (पूंजी × समय): राजू=45000×12=5,40,000; सोनू=60000×9=5,40,000; मीना=90000×3=2,70,000 चरण 3: अनुपात = 5,40,000 : 5,40,000 : 2,70,000 = 2 : 2 : 1 (कुल भाग=5) चरण 4: राजू = 16500×2/5=₹6,600, सोनू=16500×2/5=₹6,600, मीना=16500×1/5=₹3,300 ✅ उत्तर (Answer): राजू=₹6,600, सोनू=₹6,600, मीना=₹3,300
चरण 1: माना कुल लाभ = x। A का प्रबंधन शुल्क = 30% of x = 3x/10 चरण 2: शेष लाभ = x − 3x/10 = 7x/10, यह पूंजी-अनुपात 25000:30000:15000=5:6:3 में बंटेगा (कुल भाग=14) चरण 3: A का कुल हिस्सा = 3x/10 + (7x/10)×5/14 = 3x/10 + x/4 चरण 4: शर्त: A − (B+C) = 200 ⇒ हल करने पर x = ₹2000 चरण 5: A = 3(2000)/10 + 2000×5/28 = 600+500=₹1100; B=2000×6/28×(7/10 का हिस्सा गणना)=₹600; C=₹300 ✅ उत्तर (Answer): कुल लाभ=₹2000; A=₹1100, B=₹600, C=₹300
सबसे पहले हर साझेदार के लिए "पूंजी × समय (महीनों में)" निकालकर एक तालिका बना लें — यही अंतिम अनुपात है, महीनों को कभी अनदेखा न करें। कार्यशील साझेदार वाले प्रश्नों में क्रम हमेशा यही रहेगा: पहले तय % घटाएं → फिर बचा हुआ लाभ पूंजी-अनुपात में बांटें → अंत में दोनों को जोड़ें। पूंजी बीच में घटे (withdraw) या बढ़े, तो समय को दो भागों में बांटकर अलग-अलग (पूंजी×समय) जोड़ें।
| अनुपात का प्रकार | सूत्र/परिभाषा | उदाहरण |
|---|---|---|
| संयुक्त अनुपात (Compounded Ratio) | (a:b),(c:d),(e:f) → (ace : bdf) | 2:3, 4:5, 6:7 → 48:105 |
| द्विगुणित अनुपात (Duplicate Ratio) | (a:b) → (a² : b²) | 3:4 → 9:16 |
| उपद्विगुणित अनुपात (Sub-duplicate Ratio) | (a:b) → (√a : √b) | 9:16 → 3:4 |
| त्रिगुणित अनुपात (Triplicate Ratio) | (a:b) → (a³ : b³) | 2:3 → 8:27 |
| उपत्रिगुणित अनुपात (Sub-triplicate Ratio) | (a:b) → (a^(1/3) : b^(1/3)) | 8:27 → 2:3 |
| चौथा आनुपातिक (Fourth Proportional) | a:b::c:d → d=(bc)/a | 4,9,12 → 27 |
| तीसरा आनुपातिक (Third Proportional) | a:b::b:c → c=b²/a | 16,36 → 81 |
| मध्य आनुपातिक (Mean Proportional) | √(ab) | 4,9 → 6 |
⚠️ आम गलतियाँ (Common Mistakes)
❌ अनुपात a:b और b:c को बिना B का LCM किए सीधे जोड़ देना — यह सबसे आम गलती है ❌ साझेदारी में महीनों (समय) को capital के साथ गुणा करना भूल जाना, खासकर मिश्रित साझेदारी में ❌ Working Partner के प्रश्नों में management % को कुल लाभ से पहले घटाना भूल जाना ❌ प्रतिस्थापन (Replacement) सूत्र x(1−y/x)ⁿ में n (कितनी बार निकाला गया) गिनने में गलती करना ❌ Componendo-Dividendo लगाते समय (+) और (−) की अदला-बदली में चूक जाना ❌ अंतिम उत्तर में अनुपात को न्यूनतम रूप (simplest form) में न लाना ❌ तीसरा आनुपातिक और चौथा आनुपातिक को आपस में मिला देना — पहले गिनें कि कितने पद दिए हैं ❌ साझेदार के पूंजी निकालने (withdraw) या बढ़ाने पर पूरे साल एक ही पूंजी मान लेना, जबकि समय के दो भाग बनाने चाहिए
महत्वपूर्ण: अनुपात a:b में यदि a और b दोनों को किसी एक ही शून्येतर (nonzero) संख्या से गुणा या भाग करें, अनुपात नहीं बदलता — यही अनुपात के समस्त प्रश्नों की नींव है। साझेदारी में यदि किसी साझेदार की पूंजी बीच में घट (withdraw) या बढ़ जाए, तो शेष महीनों के लिए घटी/बढ़ी हुई राशि से ही (पूंजी×समय) निकालें, पूरे वर्ष के लिए मूल राशि से नहीं।
| 📝 अभ्यास प्रश्न (Practice Questions) |
|---|
| Q1. तीन कक्षाओं में छात्रों का अनुपात 2:3:5 है। यदि प्रत्येक कक्षा में 40 छात्र बढ़ाए जाएं, तो अनुपात 4:5:7 हो जाता है। शुरू में कुल छात्र कितने थे? Q2. दो संख्याएं 2:3 के अनुपात में हैं। यदि दोनों में 8 जोड़ा जाए, तो अनुपात 3:4 हो जाता है। दोनों संख्याओं का योग ज्ञात करें। Q3. दो व्यक्तियों की वर्तमान आयु क्रमशः 36 और 50 वर्ष है। कितने वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 3:4 हो जाएगा? Q4. A, B और C एक व्यापार में साझेदार बनते हैं। A पूंजी का 1/3 भाग 1/4 समय के लिए, B पूंजी का 1/5 भाग 1/6 समय के लिए तथा C शेष पूंजी पूरे समय के लिए लगाता है। यदि लाभ ₹1,820 है, तो A का हिस्सा ज्ञात करें। Q5. A और B की पूंजी क्रमशः ₹20,000 और ₹4,000 है। A कार्यशील साझेदार होने के नाते ₹1,200 वार्षिक वेतन पाता है। यदि वर्ष का कुल लाभ ₹1,800 है, तो दोनों के हिस्से ज्ञात करें। |
| 🔑 उत्तर कुंजी (Answer Key): Q1. 200 | Q2. 40 | Q3. 6 वर्ष | Q4. ₹260 | Q5. A=₹1,700, B=₹100 |
1. अनुपात a:b = a/b; गुणा/भाग से अनुपात नहीं बदलता 2. समानुपात a:b::c:d ⇔ मध्य पदों का गुणनफल = चरम पदों का गुणनफल (bc=ad) 3. चौथा आनुपातिक: d = (b×c)/a 4. तीसरा आनुपातिक: c = b²/a 5. मध्य आनुपातिक = √(ab) 6. संयुक्त अनुपात (a:b),(c:d),(e:f) → (ace:bdf) 7. द्विगुणित अनुपात (a:b) → (a²:b²); उपद्विगुणित → (√a:√b) 8. त्रिगुणित अनुपात (a:b) → (a³:b³); उपत्रिगुणित → (a^(1/3):b^(1/3)) 9. Componendo-Dividendo: a/b=c/d ⇒ (a+b)/(a−b)=(c+d)/(c−d) 10. राशि N को a:b:c में बांटने पर पहला भाग = N×a/(a+b+c) 11. प्रत्यक्ष विचरण: x=ky (x∝y); व्युत्क्रम विचरण: xy=k (x∝1/y) 12. n बार प्रतिस्थापन बाद शुद्ध द्रव = x(1−y/x)ⁿ 13. बराबर मात्रा के मिश्रण मिलाने पर प्रत्येक घटक अलग-अलग जोड़ें 14. सरल साझेदारी: लाभ का अनुपात = पूंजी का अनुपात (समय समान) 15. मिश्रित साझेदारी: लाभ का अनुपात = (पूंजी×समय) का अनुपात 16. कार्यशील साझेदार: पहले तय % घटाएं, शेष पूंजी-अनुपात में बांटें 17. पूंजी बीच में बदलने पर समय के अलग-अलग भाग के लिए अलग (पूंजी×समय) जोड़ें 18. अनुपात/समानुपात के प्रश्नों में उत्तर हमेशा न्यूनतम रूप (simplest form) में दें 19. A:B और B:C से A:B:C — B के LCM से स्केल करें 20. "3A=4B=7C" जैसे रूप में A:B:C = 1/3:1/4:1/7 (LCM से गुणा करके)
Q1. यदि A:B:C = 4:7:11 तथा B:C:D = 21:33:44 हो, तो A:B:C:D ज्ञात करें। (a) 12:32:36:44 (b) 12:21:33:44 (c) 12:22:31:44 (d) इनमें से कोई नहीं Q2. एक बैग में 1 रुपया, 50 पैसे और 25 पैसे के कुल 175 सिक्के हैं। यदि प्रत्येक प्रकार के सिक्कों का कुल मूल्य बराबर है, तो बैग में कुल धनराशि ज्ञात करें। (a) ₹75 (b) ₹175 (c) ₹300 (d) ₹126 Q3. 24 कैरेट सोना शुद्ध सोना है। 18 कैरेट सोने में 3/4 भाग सोना तथा 20 कैरेट सोने में 5/6 भाग सोना है। 18 कैरेट व 20 कैरेट सोने में शुद्ध सोने का अनुपात ज्ञात करें। (a) 5:8 (b) 8:5 (c) 9:10 (d) इनमें से कोई नहीं Q4. A, B, C और D ने एक चारागाह किराये पर लिया। A ने 24 गायें 3 महीने, B ने 10 गायें 5 महीने, C ने 35 गायें 4 महीने और D ने 21 गायें 3 महीने चराईं। यदि A का किराया हिस्सा ₹720 है, तो कुल किराया ज्ञात करें। (a) ₹1413 (b) ₹1214 (c) ₹1764 (d) ₹1102 Q5. A और B साझेदारी में व्यापार करते हैं। 9 महीने बाद B व्यापार छोड़ देता है, लेकिन A की पूंजी 1 महीने अधिक (कुल 10 माह) रहती है। यदि लाभ का अनुपात 5:6 है, तो पूंजी का अनुपात ज्ञात करें। (a) 3:4 (b) 4:3 (c) 5:6 (d) 6:5 Q6. तीन साझेदारों ने क्रमशः ₹60,000, ₹80,000 और ₹1,20,000 निवेश करके व्यापार शुरू किया। पहला 4 महीने बाद, दूसरा 9 महीने बाद व्यापार छोड़ देता है, तीसरा पूरे वर्ष रहता है। यदि कुल लाभ ₹1,60,480 है, तो तीनों के हिस्से ज्ञात करें। (a) ₹16,840, ₹44,188, ₹92,686 (b) ₹16,048, ₹48,144, ₹96,288 (c) ₹16,042, ₹14,842, ₹9,862 (d) ₹15,000, ₹13,423, ₹7,562 Q7. यदि A:B = 4:5 है और उनके वर्गों का अंतर 81 है, तो A का मान ज्ञात करें। (a) 36 (b) 445 (c) 15 (d) 12
🔑 उत्तर कुंजी (Answer Key): Q1.(b) 12:21:33:44 | Q2.(a) ₹75 | Q3.(c) 9:10 | Q4.(c) ₹1764 | Q5.(a) 3:4 | Q6.(b) ₹16,048, ₹48,144, ₹96,288 | Q7.(d) 12
📘 संपूर्ण अभ्यास सेट — 18 प्रश्न सह हल (Complete Practice Set)
इस अंतिम अभ्यास सेट में अनुपात, समानुपात एवं साझेदारी के सभी प्रकार के प्रश्न शामिल हैं — पहले स्वयं हल करने की कोशिश करें, फिर नीचे दिया गया हल देखें। हर प्रश्न वास्तविक परीक्षा पैटर्न पर आधारित है।
चरण 1: बेचने पर 25% लाभ के लिए मिश्रण की लागत (CP) = 20/1.25 = ₹16 प्रति लीटर होनी चाहिए चरण 2: मिश्रण की CP = (25×रसायन + 0×पानी)/(रसायन+पानी) = 16 चरण 3: 25c = 16c+16w ⇒ 9c=16w ⇒ रसायन:पानी=16:9, अतः पानी:रसायन=9:16 ✅ उत्तर (Answer): (d) 9:16 ✓
चरण 1: A को 16 इकाई मानें (5:3 का दोगुना=10:6): सोना=10, कॉपर=6 चरण 2: B को 16 इकाई मानें (5:11): सोना=5, कॉपर=11 चरण 3: कुल सोना=10+5=15, कुल कॉपर=6+11=17 ✅ उत्तर (Answer): (c) 15:17 ✓
चरण 1: x=2, y=1 मान लें चरण 2: x²−y²=4−1=3 चरण 3: x²+y²=4+1=5 ✅ उत्तर (Answer): (a) 3:5 ✓
चरण 1: माना संख्याएं 7k और 11k हैं चरण 2: (7k+7)/(11k+7) = 2/3 ⇒ 21k+21=22k+14 ⇒ k=7 चरण 3: छोटी संख्या = 7k = 7×7 = 49 ✅ उत्तर (Answer): (b) 49 ✓
चरण 1: माना वर्तमान आयु x, y हैं चरण 2: (x−10)/(y−10)=1/3 और (x+5)/(y+5)=2/3 चरण 3: दोनों समीकरण हल करने पर x=15, y=25 ✅ उत्तर (Answer): (b) 3:5 ✓
चरण 1: मूल्य अनुपात 5k:3k:1k मानें चरण 2: आधा-रुपया गिनती = 5k/0.5=10k; चौथाई = 3k/0.25=12k; 10पैसे=1k/0.1=10k चरण 3: कुल सिक्के=32k=480 ⇒ k=15; गिनती=150,180,150 ✅ उत्तर (Answer): (c) 150, 180, 150 ✓
चरण 1: मूल्य 8k:4k:3k मानें चरण 2: 1रु गिनती=8k; 50पैसे गिनती=4k/0.5=8k; 25पैसे गिनती=3k/0.25=12k चरण 3: कुल=28k=280 ⇒ k=10; 50पैसे सिक्के=8k=80 ✅ उत्तर (Answer): (c) 80 ✓
चरण 1: A/B=2/3, B/C=3/4, C/A=4/2=2 चरण 2: सभी को समान हर (LCM=12) में लाएं: 2/3=8/12, 3/4=9/12, 2=24/12 ✅ उत्तर (Answer): (c) 8:9:24 ✓
चरण 1: माना आयु 3k और 2k हैं चरण 2: 3k − 2k = 5 ⇒ k=5 चरण 3: छोटे की आयु = 2k = 10 वर्ष ✅ उत्तर (Answer): (b) 10 वर्ष ✓
चरण 1: कुल मूल्य = 15×3 + 10×2 + 5×5 = 45+20+25 = 90 चरण 2: कुल मात्रा = 3+2+5 = 10 चरण 3: औसत मूल्य = 90/10 = 9 ✅ उत्तर (Answer): (c) 9 ✓
चरण 1: A की (पूंजी×समय) = 48000×3 + 40000×9 = 144000+360000=504000 चरण 2: B की (पूंजी×समय) = 60000×6 + 66000×6 = 360000+396000=756000 चरण 3: अनुपात A:B = 504000:756000 = 2:3 (कुल भाग=5) चरण 4: कुल लाभ = 12000×5/2 = ₹30,000 ✅ उत्तर (Answer): (b) ₹30,000 ✓
चरण 1: 2 वर्ष = 24 महीने में: A का समय=24, B का समय=(24−6)=18, C का समय=(24−12)=12 चरण 2: (पूंजी×समय): A=45000×24=1080000; B=80000×18=1440000; C=120000×12=1440000 चरण 3: अनुपात = 1080000:1440000:1440000 = 3:4:4 ✅ उत्तर (Answer): (b) 3:4:4 ✓
चरण 1: समय: A=12माह, B=(12−2)=10माह, C=(12−6)=6माह चरण 2: (पूंजी×समय): A=500×12=6000; B=400×10=4000; C=800×6=4800 चरण 3: अनुपात 6000:4000:4800 = 15:10:12 (कुल भाग=37) चरण 4: शेयर: A=444×15/37=₹180, B=444×10/37=₹120, C=444×12/37=₹144 ✅ उत्तर (Answer): (a) ₹180, ₹120, ₹144 ✓
चरण 1: ब्याज: A=10000×5%=500; B=4000×5%=200 चरण 2: B का प्रबंधन शुल्क = 100×12=1200 चरण 3: शेष लाभ = 4000−500−200−1200=2100, अनुपात 10000:4000=5:2 में बंटेगा चरण 4: A कुल = 500+2100×5/7=500+1500=₹2000; B कुल=200+1200+2100×2/7=200+1200+600=₹2000 ✅ उत्तर (Answer): (d) ₹2,000 प्रत्येक ✓
चरण 1: माना A व B की पूंजी Ca, Cb है चरण 2: Ca×10 : Cb×9 = 5:6 चरण 3: Ca/Cb = (5/10)/(6/9) = 0.5/0.667 = 3/4 ✅ उत्तर (Answer): (a) 3:4 ✓
चरण 1: (पूंजी×समय): A=52000×12=624000; B=39000×8=312000; अनुपात 2:1 चरण 2: माना कुल लाभ=P; B का कमीशन=P/4, शेष 3P/4 अनुपात 2:1 में बंटेगा चरण 3: B कुल = P/4 + (3P/4)×(1/3) = P/4+P/4 = P/2 = 20000 ⇒ P=40000 चरण 4: A = (3×40000/4)×(2/3) = 30000×2/3 = ₹20,000 ✅ उत्तर (Answer): (a) ₹20,000 ✓
चरण 1: X का हिस्सा (पूंजी×समय) = (1/4)×(1/4) = 1/16 चरण 2: Y का हिस्सा = (1/5)×(1/2) = 1/10 चरण 3: Z की पूंजी = 1−1/4−1/5 = 11/20, समय पूरा = 11/20 चरण 4: LCM(16,10,20)=80 से गुणा: X=5, Y=8, Z=44 (कुल भाग=57) चरण 5: शेयर: X=1140×5/57=₹100, Y=1140×8/57=₹160, Z=1140×44/57=₹880 ✅ उत्तर (Answer): (a) ₹100, ₹160, ₹880 ✓
चरण 1: (पूंजी×समय): M=6500×6=39000; P=8400×5=42000; Q=10000×3=30000 (कुल=111000) चरण 2: M का प्रबंधन शुल्क = 7400×5% = ₹370 चरण 3: शेष लाभ = 7400−370 = 7030, यह 39000:42000:30000 के अनुपात में बंटेगा चरण 4: Q का हिस्सा = 7030×30000/111000 = ₹1,900 ✅ उत्तर (Answer): (a) ₹1,900 ✓
📐 सूत्र पुनरावृत्ति तालिका (Formula Revision Table)
| टॉपिक | सूत्र (Formula) | कब उपयोग करें |
|---|---|---|
| अनुपात (Ratio) | a:b = a/b | दो राशियों की तुलना करते समय |
| समानुपात (Proportion) | a:b::c:d ⇔ bc=ad | दो अनुपात बराबर हों तब |
| चौथा आनुपातिक | d = (b×c)/a | 3 संख्याएं दी हों, चौथी ज्ञात करनी हो |
| तीसरा आनुपातिक | c = b²/a | 2 अलग संख्याएं दी हों (बीच वाली दोहराई जाए) |
| मध्य आनुपातिक | √(ab) | केवल 2 संख्याओं का ज्यामितीय माध्य चाहिए |
| संयुक्त अनुपात | (a:b),(c:d) → ac:bd | दो या अधिक अनुपातों को गुणा करना हो |
| द्विगुणित/त्रिगुणित अनुपात | (a²:b²) / (a³:b³) | वर्ग/घन आधारित अनुपात चाहिए |
| Componendo-Dividendo | (a+b)/(a−b)=(c+d)/(c−d) | जटिल समानुपाती समीकरण सरल करनी हो |
| राशि का विभाजन | भाग = N×(पद)/(योग) | कुल राशि को अनुपात में बांटना हो |
| प्रत्यक्ष/व्युत्क्रम विचरण | x=ky / xy=k | दो चरों का पारस्परिक संबंध ज्ञात करना हो |
| प्रतिस्थापन सूत्र | x(1−y/x)ⁿ | बर्तन से बार-बार मिश्रण निकाल-डाला जाए |
| सरल साझेदारी | लाभ अनुपात = पूंजी अनुपात | सभी साझेदारों का समय समान हो |
| मिश्रित साझेदारी | लाभ अनुपात = (पूंजी×समय) | साझेदार अलग-अलग समय के लिए जुड़ें |
| कार्यशील साझेदार | पहले % घटाएं, शेष पूंजी-अनुपात में बांटें | कोई साझेदार व्यापार भी संभालता हो |